四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换

RPY角与ZYX欧拉角


在描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态时，有两种常用的方式：

一种方式是绕固定坐标轴旋转，这种称为“固定角”或“欧拉角”(XYZ fixed angles)，常称为旋转序列 RPY (Roll, Pitch, Yaw)，它包括横滚 (Roll)、俯仰 (Pitch) 和偏航 (Yaw) 三个分量，分别绕着 {A} 坐标系的 X、Y、Z 轴旋转。




另一种方式是绕自身的坐标轴旋转，被称为 ZYX 欧拉角，其旋转顺序为绕自己的 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转。在概念上，这两种旋转方式最终达到相同的目标姿态，但描述路径不同。数学上，通过 X、Y、Z 轴三次固定旋转和绕协调系轴三次旋转都将获得相同的最终定向。

描述回顾与等效表示


固定轴旋转 和 自轴旋转 同义地表达了在ABS和旋转物体之间的相对于旋转变换。


四元数转换与欧拉角

四元数是一种高效存储和计算定向信息的方式。通过四元数可以直接合成多次旋转，相比矩阵易于在硬件上实现，并且很少发生不连续误差（累计误差）。

四元数与旋转矩阵的转化：已知旋转矩阵，可以通过公式直接计算对应的四元数，反之亦然（需考虑奇异性）。

四元数的加法与乘法 类似于向量与矩阵，分别遵循加法和逐元素乘法的规则。

四元数到欧拉角的转换：此转换并非直截了当，尤其是当绕某个轴旋转几乎达到 ±90° 时，需要通过 ATan2 函数来准确描述正确的方向（确保四元数的取值符合物理角度范围）。

欧拉角与四元数的互转：通过设置一组欧拉角数学公式推导出四元数相同时，要注意实际应用里还有 12 种不同顺序（如 ZYX、ZXZ 等）的问题，因此应用时应明确旋转序列。

数学工具包与应用实例

可利用 Mathematica 中的 Quaternions Package 简化这些转换和计算。比如：

1. 加载 package：`<


2. 计算四元数 ：`Quaternion[12, 4, 14, 2]`。


3. 转换俯仰角和偏航角(绕固定轴旋转)到四元数，然后再转换回欧拉角。


示例码解析